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发信人: Sidao_Ni (Sidao Ni),原信区: ustcbbs
标  题: Re: right problem
发信站: 中国科大BBS站 (Fri, 29 Mar 1996 08:50:22),站内信件

上回 Canary Cat 说道...
>
>     f(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^(2n+1)/(2n+1)!=0
>        有且只有一个实根.
f(x) >0 for all x>=0;      (1)
x-> - infinity: f(x)-> -infinity (because the highest order is 2n+1);

hence, at least one real root exists, and the root is negative, let  a0 be the
least nagative;
       we have :
        f(x) <0; for all x<a0;
and
  f'(x) = 1 + x + x^2/2!+...+x^2n/2n!=f(x) - x^2n+1/(2n+1)!
 thus:
  f'(x) - f(x) = -x^2n+1/(2n+1)!
  (f(x) exp(-x))'= (f'(x)-f(x))exp(-x) = -x^(2n+1)/(2n+1)!exp(-x);
  f(x)-f(a0) =exp(x) * [ integral( from a0 to x): -x^(2n+1)/(2n+1)!* exp(-x)];
  but f(a0) = 0;
  thus f(x) =exp(x) * [ integral( from a0 to x): -x^(2n+1)/(2n+1)!* exp(-x)];
  for all x <0:
    -x^(2n+1)/(2n+1)! >0;
    exp(x)>0, exp(-x)>0;
    thus the integral must be greater than zero.
    f(x) >0 for all 0>x>a0;   (3)


    from (1) & (3) we get
     f(x) >0 for all x >a0;
     and (2)
      f(x) <0 for all x <a0;
      then
      a0 is the real root and the only one real root.

 石头 --
 * Origin: 中国科大BBS站 <bbs@ustc.edu.cn>


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